Question

8．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=5，a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n-3ⁿ（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的通项公式．
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*）两边同时除以3ⁿ、变形可知$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1=$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-1）（n≥2，n∈N^*），进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1}是首项、公比均为$\frac{2}{3}$的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2ⁿ+3ⁿ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=2a_n-1+3^n-1（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$+$\frac{1}{3}$（n≥2，n∈N^*），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1=$\frac{2}{3}$（$\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}$-1）（n≥2，n∈N^*），
又∵$\frac{{a}_{1}}{3}$-1=$\frac{5}{3}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1}是首项、公比均为$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$-1=$\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}$，
∴a_n=2ⁿ+3ⁿ，
∴b_n=a_n-3ⁿ=2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+3ⁿ，
∴S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=2ⁿ⁺¹+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．