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(2013•温州一模)已知函f(x)=ax2-ex(a∈R).
(Ⅰ)a=1时,试判断f(x)的单调性并给予证明;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2).
(i) 求实数a的取值范围;
(ii)证明:-
e2
<f(x1)<-1
. (注:e是自然对数的底数)
分析:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求出函数的导函数,把导函数二次求导后,求出导函数的最大值,得到导函数的最大值小于0,从而得到原函数是实数集上的减函数;
(Ⅱ)(i)把函数f(x)=ax2-ex有两个极值点转化为其导函数f(x)=2ax-ex有两个根,分离变量a后分析右侧函数h(x)=
ex
x
的单调性,该函数先减后增有极小值,然后根据图象的交点情况得到a的范围;
(ii)由x1是原函数的导函数的根,把x1代入导函数解析式,用x1表示a,然后把f(x1)的表达式中的a替换,得到关于x1的函数式后再利用求导判断单调性,从而得到要征得结论.
解答:解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x2-ex,f(x)在R上单调递减.
事实上,要证f(x)=x2-ex在R上为减函数,只要证明f(x)≤0对?x∈R恒成立即可,
设g(x)=f(x)=2x-ex,则g(x)=2-ex
当x=ln2时,g(x)=0,
当x∈(-∞,ln2)时,g(x)>0,当x∈(ln2,+∞)时,g(x)<0.
∴函数g(x)在(-∞,ln2)上为增函数,在(ln2,+∞)上为减函数.
∴f(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2-2<0,故f(x)<0恒成立
所以f(x)在R上单调递减;                                    
(Ⅱ)(i)由f(x)=ax2-ex,所以,f(x)=2ax-ex
若f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是方程f(x)=0的两个根,
故方程2ax-ex=0有两个根x1,x2
又因为x=0显然不是该方程的根,所以方程2a=
ex
x
有两个根,
h(x)=
ex
x
,得h(x)=
ex(x-1)
x2

若x<0时,h(x)<0且h(x)<0,h(x)单调递减.
若x>0时,h(x)>0.
当0<x<1时h(x)<0,h(x)单调递减,
当x>1时h(x)>0,h(x)单调递增.
要使方程2a=
ex
x
有两个根,需2a>h(1)=e,故a>
e
2
且0<x1<1<x2
故a的取值范围为(
e
2
,+∞)

(ii)证明:由f(x1)=0,得:2ax1-ex1=0,故a=
ex1
2x1
,x1∈(0,1)
f(x1)=ax12-ex1=
ex1
2x1
x12-ex1
=ex1(
x1
2
-1)
,x1∈(0,1)
设s(t)=et(
t
2
-1)
(0<t<1),则s(t)=et(
t-1
2
)<0
,s(t)在(0,1)上单调递减
故s(1)<s(t)<s(0),即-
e
2
<f(x1)<-1
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了函数在某点取得极值的条件,解答此题的关键是利用二次求导判断函数导函数的符号,这也是此类问题经常用到的方法.此题是有一定难度题目.
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3
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6
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