Question

已知函数f₁(x)＝e^|x－2a+1|，f₂(x)＝e^|x－a|+1，x∈R，1≤a≤6．

(1)若a＝2，求f(x)＝f₁(x)＋f₂(x)在[2，3]上的最小值；

(2)若|f₁(x)＝f₂(x)|＝f₂(x)－f₁(x)对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；

(3)求函数在[1，6]上的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)对于≥，当且仅当，即时等号成立，∴． 　　(2)对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立，亦即≤对于任意的实数恒成立，∴≤，即≤1对于任意的实数恒成立． 　　又≤对于任意的实数恒成立，故只需≤1，解得0≤≤2，又1≤≤6，∴1≤≤2为的取值范围． 　　(3) 　　①当≤≤2时，由⑵知≤，图象关于直线对称(如图2)，又此时1≤≤3，故对． 　　②当2＜≤6时，，故 　　时，， 　　； 　　时，，； 　　时，由，得，其中 　　，故时，，时，． 　　因此，时， 　　令，得，且，如图3 　　(ⅰ)当，即时，； 　　(ⅱ)当，即时， 　　； 　　(ⅲ)当，即时，，综上所述，说明：第⑶小题也可以通过令 　　化曲为直进行研究，先求得在[1，6]上的最小值，从而最终求得在[1，6]上的最小值，使得问题的解决更为简洁．