Question

椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

．点P（1，

3

2

）、A、B在椭圆E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）当m=-3时，求△PAB的重心坐标．
（Ⅲ）证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程，利用椭圆的离心率为

1

2

，点P（1，

3

2

）在椭圆E上，建立方程求得几何量，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设A、B的坐标，由

PA

+

PB

=m

OP

得坐标之间的关系，即可求得△PAB的重心坐标；
（Ⅲ）利用点差法，结合（Ⅱ）的结论，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率为

1

2

，点P（1，

3

2

）在椭圆E上，
∴e²=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=m

OP

得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），即

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

∵点P（1，

3

2

），），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3

2

m+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0），即原点是△PAB的重心；
（Ⅲ）证明：∵

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1
∴两式相减得k_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+ 3 2 m

=-

1

2

，即直线AB的斜率为定值，定值为-

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法求直线的斜率，正确运用椭圆方程是关键．