Question

（2013•闵行区二模）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(2

2

，0)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把点M、N的坐标代入解出即可；
（2）利用斜截式写出直线l的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，表示出直线MA与MB的斜率分别为k₁、k₂，即可证明：k₁+k₂=0．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将M(2，1)，N(2

2

，0)代入椭圆E的方程，得

4m+n=1 8m=1

解得m=

1

8

，n=

1

2

，所以椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又kOM=

1

2

，
∴直线l的方程为y=

1

2

x+b．
由

y= 1 2 x+b x2 8 + y2 2 =1

得x²+2bx+2b²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x1+x2=-2b，x1x2=2b2-4．
又k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

．
又y1=

1

2

x1+b，y2=

1

2

x2+b，
所以上式分子=(

1

2

x1+b-1)(x2-2)+(

1

2

x2+b-1)(x1-2)
=x1x2+(b-2)(x1+x2)-4(b-1)=2b2-4+(b-2)(-2b)-4(b-1)=0
故k₁+k₂=0．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．