Question

如图△ABC中，AB=4，BC=3，AC=2，以A为圆心，直径PQ=2，则

BP

•

CQ

的最大值为（　　）

• A、

  15

  2

• B、

  19

  2

• C、

  21

  2

• D、

  23

  2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由AB=4，BC=3，AC=2，以点A为圆心，直径PQ=2作一个圆，设PQ为圆A的任意一条直径，我们易得

BP

•

CQ

=+

AP

•

CB

，又由|

AP

|=1，|

CB

|=3，我们可得当

AP

，

CB

同向时，T取最大值．

解答：解：∵△ABC中，AB=4，BC=3，AC=2，
∴cosA=

42+22-32

2×4×2

=

11

16

，
故

BA

•

CA

=|

BA

|•|

CA

|=cosA=

11

2

，
又由直径PQ=2，故AP=AQ=1，
故

AP

²=1，
∴

BP

•

CQ

=（

BA

+

AP

）•（

CA

+

AQ

）
=（

BA

+

AP

）•（

CA

-

AP

）
=

BA

•

CA

+

AP

•（

CA

-

BA

）-

AP

²，
=

9

2

+

AP

•（

CA

-

BA

）
=

9

2

+

AP

•

CB

由|

AP

|=1，|

CB

|=3，
故当

AP

，

CB

同向时

BP

•

CQ

的最大值为

9

2

+3=

15

2

，
故选：A

点评：如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积，有最大值；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数，有最小值．如果两个向量垂直，则它们的夹角为π2，此时向量的数量积，等于0．