Question

设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf′（x）＞x²+2f（x），则不等式4f（x+2014）-（x+2014）²f（-2）＞0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答：解：由xf′（x）＞x²+2f（x），（x＜0），
得：x²f′（x）-2xf（x）＜x³，
∵x＜0，
∴x³＜0，
即x²f′（x）-2xf（x）＜0，
设F（x）=

f(x)

x2

，
则即[

f(x)

x2

]′=

x2f(x)-2xf(x)

x4

＜0，
则当x＜0时，得F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=

f(x+2014)

(x+2014)2

，F（-2）=

f(-2)

(-2)2

=

f(-2)

4

，
即不等式4f（x+2014）-（x+2014）²f（-2）＞0等价为F（x+2014）-F（-2）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，
即x＜-2016，
故选C．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．