Question

（本小题满分14分）
如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，
，，与交于点.

（1）求点的轨迹方程；
（2）求四边形的面积的最小值.

Answer 1

（1）  （2）

（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）
解法一:
（1）解：设，
∵，
∴是线段的中点.                  ………… 2分
∴，①        ……… 3分
.                     ②    …… 4分
∵， ∴.
∴.                  ……… 5分
依题意知，
∴.                       ③       ………… 6分
把②、③代入①得：，即.……… 7分
∴点的轨迹方程为.   ………… 8分
(2)解：依题意得四边形是矩形，
∴四边形的面积为
            ………… 9分


.                      …… 11分
∵，当且仅当时，等号成立， …………… 12分
∴.               ………… 13分
∴四边形的面积的最小值为.                ……… 14分
解法二:
(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,
由于,则直线的斜率为.                  …………… 1分
故直线的方程为,直线的方程为.
由 消去,得.
解得或.                     …………… 2分
∴点的坐标为.               ……… 3分
同理得点的坐标为.             …… 4分
∵，
∴是线段的中点.                    ……… 5分
设点的坐标为,
则              …………… 6分
消去,得.          …………… 7分
∴点的轨迹方程为.        ……… 8分
(2)解：依题意得四边形是矩形，
∴四边形的面积为
         …………… 9分
                       …………… 10分
                      …………… 11分
.                                    …………… 12分
当且仅当,即时,等号成立.       …………… 13分
∴四边形的面积的最小值为.       …………… 14分