Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）=g（x）a^x（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，则a的值为

1

2

．

Answer 1

分析：先根据

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

 得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数

f(x)

g(x)

=ax的单调性，求出a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．

解答：解：令x=1，由f（x）=g（x）a^x（a＞0且a≠1），得到f（1）=a•g（1）．
令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分别代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得：a+

1

a

=

5

2

，化简得2a²-5a+2=0，
即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=

1

2

．
又由f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），即f（x）g'（x）-f'（x）g（x）＞0，也就是[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，说明函数

f(x)

g(x)

=a^x是减函数，
故有0＜a＜1，故只有a=

1

2

，
故答案为

1

2

．

点评：此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，应用导数判断函数的单调性，是一道基础题．