Question

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其单调性（无需证明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范围．
（3）设h^-1（x）是h（x）=log₂x的反函数，若存在唯一的x使

1-h-1(x)

1+h-1(x)

=m-2x成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令f（x）+g（x）=2log₂（1-x）中的x用-x替代，根据函数的奇偶性进行化简，两式相加相减可求出f（x）及g（x）的解析式，根据复合函数的单调性可得其单调性；
（2）由（1）得到的f（x）的解析式，代入不等式f（x）＜0，利用对数的性质解不等式即可；
（3）先根据反函数的求法求出h^-1（x），代入

1-h-1(x)

1+h-1(x)

=m-2x，令t=2^x＞0，原等式可化为t²-mt+1-m=0，只需此方程在（0，+∞）有唯一解，从而求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
又f（x）+g（x）=2log₂（1-x），①
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），即-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），②
由①②可得g(x)=log2(1+x)+log2(1-x)=log2(1-x2)x∈（-1，1），
f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)=log2

1-x

1+x

x∈（-1，1），
其中，g（x）在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减．f（x）在（-1，1）上是减函数．
（2）由 f(x)=log2

1-x

1+x

＜0，知0＜

1-x

1+x

＜1，
∴

-1＜x＜1 1-x＜1+x

故0＜x＜1，
∴x取值范围为0＜x＜1；
（3）由y=log2

1-x

1+x

，得2y=

1-x

1+x

，解得x=

1-2y

1+2y

，
∴f-1(x)=

1-2x

1+2x

，
故f^-1（x）=m-2^x即为m-2x=

1-2x

1+2x

（*），
令t=2^x＞0  （*）可化为t²-mt+1-m=0，由题意此方程在（0，+∞）有唯一解，
令h（t）=t²-mt+1-m
（1）h（0）=1-m＜0，得m＞1，
（2）

h(0)=1-m=0 m 2 ＞0

解得m=1，
（3）

△=m2-4(1-m)=0 m 2 ＞0

解得m=2

2

-2，
综上，m≥1或m=2

2

-2．

点评：本题考查了求函数的解析式，函数单调性的判断与证明．求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．