Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，点E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面积为．
（1）A₁C与底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC与BD的交点为M，点T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接EM，根据线面平行的性质可知A₁C∥EM，易知∠A₁CA为A₁C与底面ABCD的所成角，在△A₁CA中，求出此角即可；
（2）建立直角坐标系D-xyz则求出E，B，M的坐标，设T点的坐标为（0，1，z），根据BE⊥MT则•=0求出z，根据向量的模就是线段的长即可求出MT的长．
解答：解：（1）如图所示，连接EM因为A₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，
所以A₁C∥EM；又M为AC的中点，故E为AA₁的中点
∴S△EBD=וME=则ME=1
∵AA₁⊥底面ABCD∴∠A₁CA为A₁C与底面ABCD的所成角
在△A₁CA中，A₁C=2EM=2
cos∠A₁CA=
∴A₁C与底面ABCD所成角的大小45°
（2）如图建立直角坐标系D-xyz则E（1，0，），B（1，1，0），M（，，0）设T点的坐标为（0，1，z）
故=（0，-1，），=（-，，z）
∵BE⊥MT∴•=0
∴+z=0
∴z=∴点T的坐标为（0，1，）
=（-，，）∴||=1
故MT=1
点评：本题考查直线与平面平行的性质，直线与平面所成的角，线段长的度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力．