Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面边长为4，AA₁=6，Q为BB_l的中点，PDD_l，MA_lB₁，N∈C_lD₁，A₁M=1，D₁N=3．

(1)当P为DD₁的中点时，求二面角M―PN―D₁的大小；

(2)在DD₁上是否存在点P，使QD₁⊥PMN面?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由；

(3)若P为DD₁的中点，求三棱锥Q―PMN的体积．

Answer 1

解：(1)以A₁D₁为轴，以D₁C₁为y轴，DD₁为z轴，D₁为原点建立空间直角坐标系，

则D₁(0，0，0)，A₁(4，0，0)，P(0，0，3)，M(4，1，0)，N(0，3，0)．

∴(4，0，0)， (0，3，一3)，(4，1，一3)，

显然是面PD₁N的法向量．设面PMN的法向量为，

则由，得，∴，

不妨设(1，2，2)，设与所成的角为，则，

∴，所以二面角M―PN―D₁的大小为arccos．

(2)因为=(一4，2，0)，=(一4，一4，一3)，

所以=(一4，一4，一3)?(―4，2，0)=8所以与不垂直，

所以不存在点P使QD_l⊥面PMN．

    (3)∵P(0，0，3)，∴，

    cos<，

    ∴sin∠MPN=，

S_△PMN=9，又=(4，4，0)，由(1)可知，

取平面的法向量(1，2，2)，则Q到平面PMN的距离为

    ∴V_Q―PMN=12．