Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=-1，
（1）试求常数a、b、c的值；
（2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．
（2）求出f′（x）并分解因式讨论x的取值决定f′（x）的正负研究函数的增减性得到函数的极值．
解答：（1）解：由f′（1）=f′（-1）=0，
得3a+2b+c=0，①
3a-2b+c=0．②
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=，b=0，c=-．
（2）解：f（x）=x³-x，∴f′（x）=x²-=（x-1）（x+1）．
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0．
∴x=-1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．
点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及用待定系数法求函数解析式的能力．