Question

（2007•肇庆二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图；
（Ⅱ）若等腰直角三角形的直角边的长为a，求这个几何体的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）这个几何体是一个底面与两个侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，直观图如图．
（Ⅱ）由三视图可知三条侧棱相互垂直，根据体积公式易求．

解答：解：（Ⅰ）这个几何体是一个底面与两个侧面都是等腰直角三角形的
三棱锥，直观图如图．
（6分）
（Ⅱ）由三视图可得PA⊥AB，PA⊥AC．
又AB∩AC=A，∴PA⊥面ABC．（8分）
△ABC是等腰直角三角形，且AB=AC=a，
∴S△ABC=

1

2

a2．（10分）
∴VP-ABC=

1

3

PA•S△ABC=

1

6

a3．（12分）

点评：本题考查由三视图与直观图的相互转化，求组合体的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．