Question

下列几个命题：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②函数y=

x2-1

+

1-x2

是偶函数，但不是奇函数；
③设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称；
④一条曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中正确的有

①④

．

Answer 1

分析：①利用一元二次方程根与系数之间的关系判断．②利用函数奇偶性的定义和性质判断．③利用函数图象的对称性判断．④利用函数图象判断函数交点个数．

解答：解：①要使方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则根据根与系数之间的关系，可两根之积为负值，即a＜0，∴①正确．
②要使函数有意义，则÷

x2-1≥0 1-x2≤0

，即x²=1，解得x=±1，即函数f（x）的定义域为{1，-1}，关于原点对称，此时f（x）=0，
∴f（x）为既是奇函数也是偶函数，∴②错误．
③∵y=f（1-x）=f[-（x-1）]，∴令t=x-1，则y=f（1-x）=f（-t），y=f（x-1）=f（t），则y=f（t）和y=f（-t）关于t=0对称，由t=x-1=0，解得x=1，
即函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于x=1轴对称，∴③错误．
④作出函数y=|3-x²|的图象如图，由图象可知，
当a＞3时，两个图象的交点个数为2个，
当a=3时，两个图象的交点个数为3个，
当0＜a＜3时，两个图象的交点个数为4个，
当a=0时，两个图象的交点个数为2个，
当a＜0时，两个图象的交点个数为0个，
故m不可能是1个，∴④正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查函数的图象和性质，考查函数性质的综合应用，综合性较强．