Question

给出下列命题：
①在△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，则△ABC是钝角三角形；
②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；
③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；
④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．
其中正确的命题序号是

①②③

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积与实际意义可判断①的正误，利用三角函数的性质与诱导公式可判断②，利用两角和的余弦可判断③，利用正弦定理与正、余弦的二倍角公式可判断④．

解答：解：对于①，∵在△ABC中，

AB

•

BC

=cbcos（π-B）＞0，
∴cosB＜0，
∴B为钝角，即△ABC是钝角三角形，①正确；
对于②，在△ABC中，cosA•tanB•cotC＜0，则A、B、C中必有一角为钝角，故②正确；
对于③，在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB?cos（A+B）＞0?cosC＜0，
故C为钝角，即△ABC是钝角三角形，③正确；
对于④，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB?

1

2

sin2A=

1

2

sin2B，
∴A=B或2A=π-2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④错误．
故答案为：①②③

点评：本题考查三角形的形状判断，考查向量的数量积，考查两角和的余弦与二倍角公式，考查正弦定理及三角函数的性质与诱导公式，属于三角与向量的综合，属于中档题．