Question

19．已知函数f（x）=x²+mx+n，且f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤$\frac{1}{2}$}．
（1）求m，n的值；
（2）求f（2^x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意利用二次函数的性质可得-1和$\frac{1}{2}$是方程x²+mx+n=0的两个实数根，再利用韦达定理求得m，n的值．
（2）由题意可得 2^x＜-1，或 2^x＞$\frac{1}{2}$，由此求得x的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+mx+n，且f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤$\frac{1}{2}$}，
∴-1和$\frac{1}{2}$是方程x²+mx+n=0的两个实数根，∴-1+$\frac{1}{2}$=-m，-1•$\frac{1}{2}$=n，
求得m=$\frac{1}{2}$，n=-$\frac{1}{2}$，故f（x）=x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．
（2）不等式f（2^x）＞0，即 2^x＜-1，或 2^x＞$\frac{1}{2}$，
解得x＞-1，即f（2^x）＞0的解集为{x|x＞-1}．

点评 本题主要考查二次函数的性质，韦达定理的应用，属于基础题．