Question

4．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）直线过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；
（3）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2种情况讨论：①、当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，用点斜式求出直线l的方程，②、当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时，可以设直线l的方程为x+y-a=0，将点的坐标代入可得a的值，即可得此时直线的方程；综合可得答案．
（2）由题意设所求直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，代入点可得关于ab的方程，联立可解得ab，即可得方程．
（3）当直线无斜率时，方程为x-5=0，满足到原点的距离为5；当直线有斜率时，设方程为y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）根据题意，分两种情况讨论：
①、当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，
直线过点（3，2），则其斜率k=$\frac{2}{3}$，
则直线的方程为y=$\frac{2}{3}$x，即2x-3y=0；
②当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时，设该直线的方程为x+y-a=0，
直线过点（3，2），将其代入直线方程可a=5，
则直线方程为x+y-5=0；
综合可得：过点（3，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-3y=0或x+y-5=0．
（2）由题意设所求直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，因为点P（-3，4）在直线上，
则有$\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}$=1，又a+b=12，两方程联立解得a=9，b=3或a=-4，b=16，
故所求直线的方程为：x+3y-9=0，或4x-y+16=0；
（3）当直线无斜率时，方程为x-5=0，满足到原点的距离为5；
当直线有斜率时，设方程为y-10=k（x-5），即kx-y+10-5k=0，
由点到直线的距离公式可得$\frac{|10-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线的方程为：3x-4y+25=0
综合可得所求直线的方程为：x-5=0或3x-4y+25=0．

点评 本题考查直线的截距式方程，考查点到直线的距离公式，涉及分类讨论的思想，注意理解截距的定义，容易忽略截距为0即直线过原点的情况．