Question

设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．
（Ⅰ）证明：（m²+n⁴）（m⁴+n²）≥4m³n³；
（Ⅱ）a²+b²=5，ma+nb=5，求证：m²+n²≥5．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,不等式

分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）利用柯西不等式即可得出．

解答： 证明：（Ⅰ）因为m＞0，n＞0，
则m²+n⁴≥2mn²，m⁴+n²≥2m²n，
所以（m²+n⁴）（m⁴+n²）≥4m³n³，
当且仅当m=n=1时，取等号．            …（5分）
（Ⅱ）由柯西不等式可得：（m²+n²）（a²+b²）≥（ma+nb）²，
∵a²+b²=5，ma+nb=5，
∴5（m²+n²）≥25，
∴m²+n²≥5，当且仅当na=mb时取等号．…（10分）

点评：本题考查了基本不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．