Question

如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，沿AD把△ABC的两部分折成直二面角（如图2），DF⊥AC于F．
（Ⅰ）证明：BF⊥AC；
（Ⅱ）设∠DCF=θ，AB与平面BDF所成的角为α，二面角B-FA-D的大小为β，试用tanθ，cosβ表示tanα；
（Ⅲ）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE∥平面PBF？若存在，求

DP

PC

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：三角函数的求值,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用折叠，把平面问题转化成空间问题，进一步利用面面垂直转化成线面垂直和线线垂直．
（2）利用三角函数及定义建立等量关系
（3）存在性问题的确定，先确定结论，然后进行证明，进一步得出结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵AD⊥DB，AD⊥DC，
∴∠BDC是二面角B-DA-C的平面角．
又∵二面角B-DA-C是直二面角，
∴BD⊥DC，
∴BD⊥平面ADC，
∴BD⊥AC，
又DF⊥AC，∴AC⊥平面BDF，∴BF⊥AC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）∠ABF=α⇒tanα=

AF

BF

，
∠BFD=β⇒cosβ=

DF

BF

．
利用三角形相似得：∠ADF=∠DCF=θ⇒tanθ=

AF

DF

，
∴tanθcosβ=

AF

BF

=tanα．
解：（Ⅲ）存在

DP

PC

=

1

2

，使DE∥平面PBF
理由：连接CE交BF于点M，连接PM，则PM∥DE．
∵AB=AC，∴AD=DC，
∴F为AC的中点，而E为AB的中点，
∴M为△ABC的重心，
∴

EM

MC

=

1

2

，∴

DP

PC

=

1

2

．
即在线段DC上存在一点P，此时

DP

PC

=

1

2

，使DE∥平面PBF．
故答案为：（1）略
（2）tanθcosβ=tanα
（3）存在

DP

PC

=

1

2

，使DE∥平面PBF

点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理与线面垂直和线线垂直的转化，三角函数只是在三角形中的应用，直二面角的应用，存在性问题的确定与证明方法．