Question

2．已知点P是抛物线y²=2x上的动点，定点Q（m，0），那么“m≤1“是“|PQ|的最小值为|m|”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 设P$（\frac{{y}^{2}}{2}，y）$，y∈R．|PQ|=$\sqrt{\frac{1}{4}[{y}^{2}-（2m-2）]^{2}+2m-1}$，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设P$（\frac{{y}^{2}}{2}，y）$，y∈R．
|PQ|=$\sqrt{\frac{1}{4}[{y}^{2}-（2m-2）]^{2}+2m-1}$，
当m≤1时，y=0时，|PQ|的最小值为|m|；
当m＞1时，y²=2（m-1）时，|PQ|的最小值为$\sqrt{2m-1}$．
∴那么“m≤1“是“|PQ|的最小值为|m|”的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．