Question

12．若a，b∈{x||x|+|x+1|＞1}，且ab=1，则a+2b的最小值是$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先运用“零点分段法”解出不等式|x|+|x+1|＞1，从而得出a，b∈（0，+∞），再根据基本不等式求最小值．

解答 解：绝度值不等式|x|+|x+1|＞1分段讨论如下：
①当x≥0时，x+x+1＞1，解得x＞1；
②当-1≤x＜0时，x+1-x＞1，无解；
③当x＜-1时，-x-x-1＞1，解得x＜-1，
综合以上讨论得，原不等式的解集为：{x|x＜-1，或x＞0}，
因此，a，b∈{x|x＜-1，或x＞0}．
由于ab=1，所以a，b同号，若a，b都小于-1，显然与ab=1不符，
因此，a，b∈（0，+∞），
再由基本不等式，a+2b≥2$\sqrt{2ab}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当，a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取“=”，
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及运用基本不等式求最值，属于中档题．