Question

如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，
AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，进而ED⊥BC，由勾股定理，我们易判断出△BCD中，BC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC；
（III）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

解答：证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN
在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．（4分）
（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，
AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE，又因为BC?平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC．（9分）
解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．
以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为

m

=（0，1，0）．
设

n

=（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为

BC

=(-2，2，0)，

CE

=(0，-4，2)
∴

-2x+2y=0 -4y+2z=0

令x=1，得y=1，z=2
所以

n

=（1，1，2）为平面BEC的一个法向量
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ
则cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

6

6

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为

6

6

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．