Question

（2012•松江区三模）已知x∈[0，

π

2

]，向量

a

=(

3

2

，cosx)，

b

=(sin2x，-cosx)，f(x)=

a

•

b

+

5

2

，求：当x取何值时f（x）取到最大值和最小值，并求出f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用两个向量的数量积公式求出f（x），再利用三角函数的恒等变换化简f（x）为sin(2x-

π

6

)+2，根据x的范围以及正弦函数的定义域和值域，求出f（x）的最大值和最小值．

解答：解：由题意可得 f(x)=

3

2

sin2x-cos2x+

5

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

5

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin(2x-

π

6

)+2．
由0≤x≤

π

2

，得  -

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
由2x-

π

6

=

π

2

得 x=

π

3

，此时f（x）取到最大值为3．
由2x-

π

6

=-

π

6

 可得 x=0，此时f（x）取到最小值为-

1

2

+2=

3

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．