Question

【题目】在正三棱锥中，点是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为____________

Answer 1

【答案】12

【解析】

取中点，连接；根据等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面，从而得到；根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，；由正三棱锥的结构特征知两两互相垂直，从而可将所求外接球转化为正方体的外接球；根据正方体外接球半径为体对角线的一半可求得半径，进而得到所求表面积.

取中点，连接

三棱锥为正三棱锥 ， ，

平面， 平面

平面

又，平面， 平面

平面 ，

由正棱锥侧面全等可知：，即两两互相垂直

可将三棱锥放入如下图所示的正方体中，其中

则三棱锥的外接球即为正方体的外接球

正方体外接球半径：

所求外接球的表面积：

本题正确结果：