Question

设函数

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)令，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数的取值范围；

(3)当时，方程 在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

解：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)．…………1分

当时，f(x)＝lnx－x2－x，f′(x)＝－x－＝，

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．…………3分

当0＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). ……4分

(2)F(x)＝lnx＋，x∈(0,3]，

则有k＝F′()＝≤在(0,3]上恒成立.……5分

所以 ，

当＝1时，－x＋取得最大值.…………8分 

所以.…………9分

(3)当时，f(x)＝lnx＋x，

由f(x)＝mx，得lnx＋x＝mx，

又x＞0，∴m＝1＋.…………9分

要使方程f(x)＝mx在区间上有唯一实数解．

只需m＝1＋有唯一实数解，令g(x)＝1＋(x＞0)，--10分

又g′(x)＝，

由g′(x)＞0，得0＜x＜e.g′(x)＜0，得x＞e，

∴g(x)在区间（1，e）上是增函数，在区间(e,+∞)上是减函数．

又g(1)＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋，…………12分

∴m＝1＋或1≤m＜1＋.