Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵a_n=2n，
∴b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
∴S_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2（n-1）×3^n-1+2n×3ⁿ，①
3S_n=2×3²+4×3³+6×3⁴+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S_n=6+2×3²+2×3²+2×3⁴+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
=6+2×-2n×3ⁿ⁺¹
=6+18•3ⁿ-18-2n×3ⁿ⁺¹
=18•3ⁿ-6n•3ⁿ-18
=12•3ⁿ-18，
∴S_n=-6•3ⁿ+9．
分析：（1）由数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=2n，知b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，所以S_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2（n-1）×3^n-1+2n×3ⁿ，再由错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．