Question

已知函数
（1）当f（x）的定义域为时，求f（x）的值域；
（2）试问对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若，求g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）函数=-1+．
当 a+≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
于是-3≤-1+≤-2，
即f（x）值域为[-3，-2]．
（2）∵f（2a-x）+f（x）===-2，
对定义域内的所有x都成立，
∴对定义域内的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是定值-2．
（3）解：当a=1时，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）当x≥0时，
则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）当x≤0时，
则函数g（x）在（-∞，0]且x≠-1时单调递减，
g（x）_min=g（0）=0
综合得：当x≠-1时，g（x）的最小值是0．
分析：（1）先将函数进行常数分离，然后根据定义域求出a-x的取值范围，再根据反比例函数求出的取值范围即可求出所求．
（2）f（2a-x）+f（x）===-2，对定义域内的所有x都成立．
（3）由a=1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）当x≥0时，求得最小值；当x≤0时，求得最小值，最后从中取最小的，作为函数的最小值．
点评：本题主要考查恒成立问题、分类常数法转化函数及分段函数求最值问题和分式函数的值域，解题时要认真审题，仔细解答．