Question

底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PA⊥平面ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.

(1)求二面角EACD的?大小?.

(2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?若存在,求出点F;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：(1)作EM⊥AD于M,?

?

∵PA⊥平面ABCD,?

∴平面PAD⊥平面ABCD.?

∴EM⊥平面ABCD.?

作MN⊥AC于N,连结NE,则NE⊥AC.∴∠ENM即为二面角E-AC-D的平面角.?

∵EM=PA=a,AM =a?,?

∴MN=AM·sin60°=a·=a.??

∴tan∠ENM=.

∴∠ENM=30°.?

∴二面角EACD的大小为30°.?

(2)法一 :取PC中点F,PE中点Q,连结FQ、BF、BQ,设AC∩BD=O,连OE,?

则OE∥BQ,QF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE.?

∴BF∥平面ACE.?

∴在棱PC上存在中点F,使BF∥平面AEC.?

法二:建系,A(0,0,0)如图,B(a ,a ,0),D(0,a,0),C(a ,a,0),P(0,0,a),E(0,a ,a),

∴=(0,a,a),=(a,a,0),=(a,a,-a).?

设=λ=(λa,λa,-λa),又=(-a,a,a),?

∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a ,a(1-λ)).?

令=λ₁+λ₂,?

∴=λ₁(a, a,0)+λ₂(0,a,a),?

?

∴当λ=时,=-+,即与、共面,此时F为BC中点.?

又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.?

法三:取PC中点F,由

??

?

₌,?

∴与、共面.又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.