Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，作EG∥PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，说明∠EHG即为二面角θ的平面角，解三角形求EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）证法一F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．
证法二建立空间直角坐标系，求出

BF

、

AC

、

AE

共面，BF?平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
还可以通过向量表示，和转化得到

BF

、

AC

、

AE

是共面向量，BF?平面ABC，从而BF∥平面AEC．

解答：解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，
由PA²+AB²=2a²=PB²知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又PE：ED=2：1，所以EG=

1

3

a，AG=

2

3

a，GH=AGsin60°=

3

3

a．
从而tanθ=

EG

GH

=

3

3

，θ=30°．
（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，
过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．
由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B(

3

2

a，-

1

2

a，0)，C(

3

2

a，

1

2

a，0).D(0，a，0)，P(0，0，a)，E(0，

2

3

a，

1

3

a)．
所以

AE

=(0，

2

3

a，

1

3

a)，

AC

=(

3

2

a，

1

2

a，0)．

AP

=(0，0，a)，

PC

=(

3

2

a，

1

2

a，-a)．

BP

=(-

3

2

a，

1

2

a，a)．
设点F是棱PC上的点，

PF

=λ

PC

=(

3

2

aλ，

1

2

aλ，-aλ)，其中0＜λ＜1，
则

BF

=

BP

+

PF

=(-

3

2

a，

1

2

a，a)+(

3

2

aλ，

1

2

aλ，-aλ)=(

3

2

a(λ-1)，

1

2

a(1+λ)，a(1-λ))．
令

BF

=λ1

AC

+λ2

AE

得

3 2 a(λ-1)= 3 2 aλ1 1 2 a(1+λ)= 1 2 aλ1+ 2 3 aλ2 a(1-λ)= 1 3 aλ2.

即

λ-1=λ1 1+λ=λ1+ 4 3 λ2 1-λ= 1 3 λ2.

解得λ=

1

2

，λ1=-

1

2

，λ2=

3

2

．即λ=

1

2

时，

BF

=-

1

2

AC

+

3

2

AE

．
亦即，F是PC的中点时，

BF

、

AC

、

AE

共面．
又BF?平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，
证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①
由EM=

1

2

PE=ED，知E是MD的中点．
连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．
所以BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC．
证法二：
因为

BF

=

BC

+

1

2

CP

=

AD

+

1

2

(

CD

+

DP

)=

AD

+

1

2

CD

+

3

2

DE

=

AD

+

1

2

(

AD

-

AC

)+

3

2

(

AE

-

AD

)=

3

2

AE

-

1

2

AC

．
所以

BF

、

AE

、

AC

共面．
又BF?平面ABC，从而BF∥平面AEC．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．