Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大小：
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由已知中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，由勾股定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，由线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD；
（2）设F为PC中点，取PE中点G，连接FG、BG，设AC、BD交于O，连接OE，由三角形中位线定理可得GF∥EC，OE∥BP，根据面面平行的判定定理可得平面BGF∥平面AEC，由面面平行的性质可得BF∥平面AEC．

解答：解：（1）由ABCD是菱形，且∠ABC=60°得
AB=BC=CD=AD=AC=PA=a
由PB=PD=

2

a
得PB²=PA²+AB²，PD²=PA²+AD²
∴PA⊥AB，PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
（2）设F为PC中点，取PE中点G，连接FG、BG
设AC、BD交于O，连接OE
由PG=GE，PF=FC得GF∥EC
由DO=OB，DE=EG得OE∥BG
∴平面BGF∥平面AEC
∴BF∥平面AEC
∴F是PC中点时，BF∥平面AEC

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是利用勾股定理证得PA⊥AB，PA⊥AD，（2）的关键是证得BGF∥平面AEC．