Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2

2

，点F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）若点E在棱PD上，当

PE

PD

为多少时二面角E-AC-D的大小为

π

6

？

Answer 1

分析：本题是考查证线线垂直，求线面角与二面的方法，由题设条件，可令BD与AC的交点为O，可证得P0垂直于底面ABCD，由菱形的性质，AC与BD互相垂直，本题的图象中出现了同一点出发的三条线段两两垂直，故可以建立空间坐标系用向量法求解，以O为坐标原点，OB方向为X轴，OC方向为Y轴，OP方向为Z轴建立空间坐标系，
（I）求出PC与BD两线对应的方向向量，利用内积为0证明线线垂直；
（II）求出直线BF的方向向量，与平面ABCD的法向量，利用公式求线面角；
（III）先设

PE

PD

=t，用t表示出两个平面的法向量，由于两平面的夹角为

π

6

，由此建立关于t的方程求出t的值，即可得到点E的位置．

解答：解：令AC与BD的交点为O，由于底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，可得AO=1，BO=

3

又PB=PD=2

2

，在等腰三角形PBD中，由勾股定理可解得P0=

5

故有PA²+AO²=5=PO²，故有PO⊥AC，即有PO，AC，BD三线两两垂直，由此，可以O为坐标原点，，OB方向为X轴，OC方向为Y轴，OP方向为Z轴建立空间坐标系，故有A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0），P（0，0，

5

）
（I）

PC

=（0，1，-

5

），

BD

=（-2

3

，0，0），因为

PC

•

BD

=0，故有PC⊥BD；
（II）由前证易得P0⊥面ABCD，故

OP

即为平面ABCD的法向量，其坐标为（0，0，

5

）
又F是PC的中点，故其坐标为（0，

1

2

，

5

2

），所以

BF

=（-

3

，

1

2

，

5

2

）
设线面角为θ，故有sinθ=|

OP • BF

| OP ||  BF |

|=

5 2

5 × 3 2 2

=

10

6

，故有θ=arcsin

10

6

，即所求的线面角为arcsin

10

6

（III）连接OE，由于AC⊥面PBD，故可得∠EOD即是二面角E-AC-D的平面角，
设

PE

PD

=t，由PE=tPD，可以得出，ED=（1-t）PD，作EM垂直OD于M，故点E到底面的距离是EM=（1-t）

5

，，OM=t

3

又二面角E-AC-D的大小为

π

6

，可得tan

π

6

=

EM

OM

=

(1-t) 5

t 3

=

3

3

，即有t=（1-t）

5

，解得t=

5

1+ 5

=

5- 5

2

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，由于本题中出现了同一点出发的三条两两垂直的直线，适合建立坐标系，故采用了向量法证明线线垂直，求线面角，在第三问中，由于本题中几何体的结构特点，易得出二面角的平面角，故采用了传统的立体几何的方法研究二面角为

π

6

时

PE

PD

的比，解题时要根据题设条件灵活选用方法，以达到简化解题的目的．