Question

（2013•门头沟区一模）在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则向量

AE

•

AF

=

1

．

Answer 1

分析：设∠EAB=θ，则由正方体的性质可得∠FAD=θ，∠EAF=

π

2

-2θ．设正方形的边长为1，求得sinθ 和cosθ的值，可得
cos∠EAF=cos（

π

2

-2θ）的值，再利用两个向量的数量积的定义求得向量

AE

•

AF

的值．

解答：解：设∠EAB=θ，则由正方体的性质可得∠FAD=θ，∠EAF=

π

2

-2θ．
设正方形的边长为1，则AE=AF=

1+ 1 4

=

5

2

，sinθ=

1 2

5 2

=

5

5

，cosθ=

1

5 2

=

2 5

5

．
∴cos∠EAF=cos（

π

2

-2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=

4

5

  向量

AE

•

AF

=

5

2

•

5

2

•cos∠EAF=1，
故答案为1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式、诱导公式的应用，求得cos∠EAF=

4

5

，是解题的关键，属于中档题．