Question

5．已知函数f（x）=$\frac{9}{8cos2x+16}$-sin²x，则当f（x）取最小值时cos2x的值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简函数的表达式，利用基本不等式求解表达式的最值即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{9}{8cos2x+16}$-sin²x=$\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}$+$\frac{cos2x+2}{2}$-$\frac{3}{2}$，∵cos2x+2＞0，
∴f（x）≥2$\sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}•\frac{cos2x+2}{2}}$$-\frac{3}{2}$=2×$\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$=0，
当且仅当$\frac{\frac{9}{8}}{cos2x+2}$=$\frac{cos2x+2}{2}$，即cos2x=-$\frac{1}{2}$时等号成立．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．