Question

【题目】已知函数f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），若对于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立，则t的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,10]
【解析】解：∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），

∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，

由韦达定理知，﹣ =5， =0，∴b=﹣10，c=0，∴f（x）=2x2﹣10x．

f（x）+t≤2 恒成立等价于2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立，

∴2x2﹣10x+t﹣2的最大值小于或等于0．

设g（x）=2x2﹣10x+t﹣2≤0，

则由二次函数的图象可知g（x）=2x2﹣10x+t﹣2在区间[2，2.5]为减函数，在区间[2.5，4]为增函数．

∴g（x）max=g（4）=﹣10+t≤0，∴t≤10．

所以答案是（﹣∞，10]．