Question

【题目】教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为.我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用.已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点.当变化时，求面积的最大值；

（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）将直线代入椭圆方程，得到的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得的值；
（2）设切点，可得切线，再由代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，即有的斜率，结合两点的斜率公式，由①可得的方程为，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）依题意可得符合要求的圆，即为过点的三角形的外接圆.所以圆心在轴上.根据题意写出圆的方程.由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆距离的最小值是，结合图形可得圆心在线段上，半径最小.又由于点已知，即可求得结论.

解：（1）将直线代入椭圆方程，
可得，
由直线和椭圆相切，可得
，
解得（由），
即有椭圆的方程为；
（2）设切点，
可得切线，
由与交于点，可得
，
由两点确定一条直线，可得的方程为，
即为，
原点到直线的距离为，
由消去，可得，
，
可得，
可得的面积，
设，，
当且仅当即时，取得最大值；

（3）椭圆的对称性，可以设，点在轴上，设点，
则圆的方程为：，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是，
设点是椭圆上任意一点，
则，
当时，最小，，①，
又圆过点，，②
点在椭圆上，，③
由①②③，解得：或，
又时，，不合题意，
综上：椭圆存在符合条件的内切圆，点的坐标是.