Question

已知数列{a_n}满足，，.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）是否存在互不相等的正整数、、，使、、成等差数列，且、、 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的、、；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先利用倒数法得到，再结合待定系数法得到，从而证明数列为等比数列；（2）在（1）的条件下求出数列的通项公式，假设相应的正整数、、满足题中条件，并列出相应的等式组并进行化简，利用基本不等式得出矛盾，从而说明符合题中条件的正整数、、不存在.

试题解析：（1）因为，所以. 所以.

因为，则.

所以数列是首项为，公比为的等比数列；

（2）由（1）知，，所以.

假设存在互不相等的正整数、、满足条件，

则有，

由与，

得.

即.

因为，所以.

因为，当且仅当时等号成立，

这与、、互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整数、、满足条件.

考点：1.倒数法求数列通项；2.待定系数法求数列通项；3.基本不等式