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若数列{an}的通项公式an=
1(n+1)2
(n∈N+)
,记f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)=
 
分析:本题考查的主要知识点是:归纳推理与类比推理,根据题目中已知的数列{an}的通项公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)
,及f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),我们易得f(1),f(2),f(3)的值,观察f(1),f(2),f(3)的值的变化规律,不难得到f(n)的表达式.
解答:解:∵an=
1
(n+1)2
(n∈N+)

a1=
1
(1+1)2
=
1
22
a2=
1
(2+1)2
=
1
32
a3=
1
(3+1)2
=
1
42

又∵f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an
f(1)=1-a1=1-
1
22
=(1-
1
2
)(1+
1
2
)=
1
2
×
3
2

f(2)=(1-a1)(1-a2)=(1-
1
22
)(1-
1
32
)=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=(1-
1
22
)(1-
1
32
)(1-
1
42
)=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
×
3
4
×
5
4


由此归纳推理:
f(n)=(1-
1
22
)(1-
1
32
)[1-
1
(n+1)2
]
=(1-
1
2
)(1+
1
2
)(1-
1
3
)(1+
1
3
)(1-
1
n+1
)(1+
1
n+1
)

=
1
2
×
3
2
×
2
3
×
4
3
××
n
n+1
×
n+2
n+1
=
n+2
2n+2

故答案为:
n+2
2n+2
点评:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

若数列{an}的通项公式为
a
 
n
=5×(
2
5
)2n-2-4×(
2
5
)n-1(n∈N+)
,{an}的最大值为第x项,最小项为第y项,则x+y等于
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
4x+2
(x∈R).
(1)已知点(1,
1
6
)
在f(x)的图象上,判断其关于点(
1
2
1
4
)
对称的点是否仍在f(x)的图象上;
(2)求证:函数f(x)的图象关于点(
1
2
1
4
)
对称;
(3)若数列{an}的通项公式为an=f(
n
m
)
(m∈N*,n=1,2,…,m),求数列{an}的前m项和Sm

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函数y=f(x)图象上两点,且线段P1P2中点P的横坐标是
1
2

(1)求证点P的纵坐标是定值; 
(2)若数列{an}的通项公式是an=f(
n
m
)
(m∈N*),n=1,2…m),求数列{an}的前m项和Sm; 
(3)在(2)的条件下,若m∈N*时,不等式
am
Sm
am+1
Sm+1
恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2003•北京)若数列{an}的通项公式是an=
3-n+(-1)n3-n
2
,n=1,2,…
,则
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)
等于(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•宝山区一模)若数列{an}的通项公式是an=3-n+(-2)-n+1,则 
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)
=
7
6
7
6

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