Question

已知函数f(x)=

1

4x+2

（x∈R）．
（1）已知点(1，

1

6

)在f（x）的图象上，判断其关于点(

1

2

，

1

4

)对称的点是否仍在f（x）的图象上；
（2）求证：函数f（x）的图象关于点(

1

2

，

1

4

)对称；
（3）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

n

m

)（m∈N^*，n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m．

Answer 1

分析：（1）由(1，

1

6

)关于点(

1

2

，

1

4

)的对称点为(0，

1

3

)，满足函数解析式，所以(1，

1

6

)关于点(

1

2

，

1

4

)的对称点仍在该函数的图象上．
（2）设点P₀（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，其关于点(

1

2

，

1

4

)的对称点为P（x，y）．由

x+x0 2 = 1 2 y+y0 2 = 1 4

得点P的坐标为P(1-x0，

1

2

-y0)．由点P₀（x₀，y₀）在函数f（x）的图象上，得y0=

1

4x0+2

．由此能够推导出函数f（x）的图象关于点(

1

2

，

1

4

)对称．
（3）由f(x)+f(1-x)=

1

2

，知f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m，得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m，由此能求出数列{a_n}的前m项和S_m．

解答：解：（1）显然(1，

1

6

)关于点(

1

2

，

1

4

)
的对称点为(0，

1

3

)，满足函数解析式，
所以(1，

1

6

)关于点(

1

2

，

1

4

)的对称点仍在该函数的图象上．（3分）
（2）设点P₀（x₀，y₀）是函数f（x）的图象上任意一点，
其关于点(

1

2

，

1

4

)的对称点为P（x，y）．
由

x+x0 2 = 1 2 y+y0 2 = 1 4

得

x=1-x0 y= 1 2 -y0.

所以，点P的坐标为P(1-x0，

1

2

-y0)．（6分）
由点P₀（x₀，y₀）在函数f（x）的图象上，
得y0=

1

4x0+2

．
∵f(1-x0)=

1

41-x0+2

=

4x0

4+2•4x0

=

4x0

2(4x0+2)

，

1

2

-y0=

1

2

-

1

4x0+2

=

4x0

2(4x0+2)

，
∴点P(1-x0，

1

2

-y0)在函数f（x）的图象上．
∴函数f（x）的图象关于点(

1

2

，

1

4

)对称．（9分）
（3）由（2）可知，f(x)+f(1-x)=

1

2

，
所以f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，
即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

，∴ak+am-k=

1

2

，（12分）
由S_m=a₁+a₂+a₃+…+a_m-1+a_m，①
得S_m=a_m-1+a_m-2+a_m-3+…+a₁+a_m，②
由①+②，得2Sm=(m-1)×

1

2

+2am=

m-1

2

+2×

1

6

=

m

2

-

1

6

，
∴Sm=

1

12

(3m-1)．（16分）

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的合理运用．