Question

如图所示，在Rt△ABCD中，∠ACB=90°，点O为三角形外的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与边AB相切，切点为E，圆O与边BC相交于D点，直径EF与边BC交于G点，连接AC．
（1）求证：A、E、G、C四点共圆；
（2）求证：AG∥ED．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形的外角等于与它相邻内角的对角，而由AB是⊙O的切线，E为切点，易得∠AEG=90°，而∠ACG=90°，故不难得到结论．
（2）由（1）的结论，我们结合圆周角定理，易得∠AEC=∠AGC，再结合弦切解定理，我们可得∠AEC=∠EDC，根据等量代换思想，我们可以得到同位角相等的结论，不难得到线线平行．
解答：证明：（1）∵圆O与边AB相切于点E，
∴∠AEG=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠AEG=∠ACB
∴A、E、G、C四点共圆．
（2）∵A、E、G、C四点共圆，
∴∠AEC=∠AGC
又∵AB是圆O的切线，
∴∠AEC=∠EDC
∴∠EDC=∠AGC
∴AG∥ED．
点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．