Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点M∈AB₁，N∈BC₁，且AM=BN≠

2

，有以下四个结论：
①AA₁⊥MN，②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN与A₁C₁是异面直线．其中正确结论的序号是______（注：把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

过M作MO∥AB，交BB₁于O，连接ON，
∵AM=BN
∴

AM

MB1

=

BO

OB1

=

BN

NC1

，∴ON∥B₁C₁，
∴BB₁⊥OM，BB₁⊥ON，OM∩ON=O，
∴BB₁⊥平面OMN，MN?平面OMN，
∴BB₁⊥MN，AA₁∥BB₁，∴AA₁⊥MN，∴①正确；
当M、N分别是AB₁，BC₁的中点时，取A₁B₁，B₁C₁的中点E，F，连接ME、NF，
∵ME∥AA₁，NF∥AA₁，且ME=NF=

1

2

AA₁，
∴四边形MNEF为平行四边形，∴MN∥EF，
又EF∥A₁C₁，∴MN∥A₁C₁，
当M不是AB₁的中点时，MN与A₁C₁异面，∴②④错误；
OM∥平面A₁B₁C₁D₁；ON∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面A₁B₁C₁D₁∥平面OMN，MN?平面OMN，
∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁；∴③正确．
故答案是①③．