Question

9．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2$\sqrt{7}$，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且$\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=n\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则|$\overrightarrow{MN}$|的最小值是$\sqrt{3}$；

Answer 1

分析 首先将向量 $\overrightarrow{MN}$用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示，然后求向量$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}$，整理为关于n的二次函数的形式求最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}）$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}）$=$\frac{1}{2}$[（1-m）$\overrightarrow{AB}$+（1-n）$\overrightarrow{AC}$]，
∵m+2n=1，
∴$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}$[2n$\overrightarrow{AB}$+（1-n）$\overrightarrow{AC}$]，
则$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=\frac{1}{4}[4{n}^{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+4n（1-n）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+（1-n）^{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}]$，
又AB=AC=2$\sqrt{7}$，∠A=120°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|AB|×|AC|×cos120°=2$\sqrt{7}×2\sqrt{7}×（-\frac{1}{2}）$=-14，
∴$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}=7（7{n}^{2}-4n+1）$，n∈（0，1）．
∴当n=$\frac{2}{7}$时，7（7n²-4n+1）有最小值为于是3
∴$|\overrightarrow{MN}|$的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用，考查二次函数的最值求法等知识，是中档题．