Question

12．己知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）
（1）若函数f（x）的最小值是f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，且f（0）=0，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥0}\\{-f（x-1），x＜0}\end{array}\right.$，判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（2）在（1）条件下，求f（x）在区间[-1，m]（m＞-1）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的最值可得c=0，-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-$\frac{1}{4}$，解方程可得a=b=1，c=0，求得g（x）的解析式，运用奇偶性的定义，即可判断；
（2）求得f（x）的对称轴，讨论区间与对称轴的关系，运用单调性即可得到最小值．

解答 解：（1）函数f（x）的最小值是f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，且f（0）=0，
即有c=0，-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-$\frac{1}{4}$，
解得a=b=1，c=0，可得f（x）=x²+x，
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x≥0}\\{x-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，g（x）为奇函数．
理由：当x=0时，g（0）=0，
当x＞0时，-x＜0，g（-x）=-x-（-x）²=-（x+x²）=-g（x），
当x＜0时，-x＞0，g（-x）=-x+（-x）²=-（x-x²）=-g（x），
综上可得g（-x）=-g（x），即有g（x）为奇函数；
（2）f（x）=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
当-1＜m≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）在[-1，m]递减，f（m）取得最小值，且为m²+m；
当m＞-$\frac{1}{2}$时，f（x）在[-1，-$\frac{1}{2}$]递减，在[-$\frac{1}{2}$，m]递增，
即有x=-$\frac{1}{2}$时，取得最小值，且为-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法和分段函数的奇偶性的判断，考查二次函数在闭区间上的最值的求法，注意分类讨论的思想方法，属于中档题．