Question

7．已知函数f（x）=sin（2x+φ），（φ∈R），若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＜f（π），对于结论：①f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$；②f（x）是奇函数；③f（x）的单调递增区间是[kx-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；④f（$\frac{7π}{10}$）＞f（$\frac{π}{5}$），其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ①③

Answer 1

分析 由f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，可得$sin（2×\frac{π}{6}+φ）$=±1，可得：φ=$kπ+\frac{π}{2}$$-\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．又f（$\frac{π}{2}$）＜f（π），可得$sin（kπ+\frac{π}{6}+π）$＜$sin（2π+kπ+\frac{π}{6}）$，可得φ=2nπ+$\frac{π}{6}$（n∈Z），f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．即可判断出正误．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+φ），（φ∈R），若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，∴$sin（2×\frac{π}{6}+φ）$=±1，可得：φ=$kπ+\frac{π}{2}$$-\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
又f（$\frac{π}{2}$）＜f（π），∴$sin（kπ+\frac{π}{6}+π）$＜$sin（2π+kπ+\frac{π}{6}）$，解得：k=2n（n∈Z）时成立，∴φ=2nπ+$\frac{π}{6}$（n∈Z）．
可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
对于结论：①f（$\frac{π}{2}$）=$sin（π+\frac{π}{6}）$=-$\frac{1}{2}$，正确；
②f（-x）≠-f（x），不是奇函数，不正确；
③由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$-\frac{π}{3}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得f（x）的单调递增区间是[kx-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z），正确；
④f（$\frac{7π}{10}$）=$sin（\frac{7π}{5}+\frac{π}{6}）$=-sin$\frac{17π}{30}$＜0，f（$\frac{π}{5}$）=$sin（\frac{2π}{5}+\frac{π}{6}）$=sin$\frac{17π}{30}$＞0，∴f（$\frac{7π}{10}$）＜f（$\frac{π}{5}$），不正确．
其中正确的是①③．
故选：D．

点评 本题查克拉三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．