Question

17．已知A（0，2），B（1，$\sqrt{3}$），B′为点B关于y轴的对称点
（1）求△ABB′的外接圆方程
（2）过点$P（1，\sqrt{2}）$作△ABB′的外接圆的两条互相垂直的弦AC，BD，求|AC|+|BD|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得 ${B^/}（-1，\sqrt{3}）$，设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将点A、A′、B的坐标代入可得D、E、F的值，可得△ABB′的外接圆方程．
（2）设O到直线AC，BD的距离分别为m，n （m≥0，n≥0），则m²+n²=3，求得|AC|、|BD|再利用基本不等式求得|AC|+|BD|的最大值．

解答 解：（1）由题意可得 ${B^/}（-1，\sqrt{3}）$，设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将点A、A′、B的坐标代入可得D=E=0，F=-4，
所以△ABB′的外接圆方程x²+y²=4．
（2）设O到直线AC，BD的距离分别为m，n （m≥0，n≥0），则m²+n²=3，
则$|{AC}|=2\sqrt{4-{m^2}}，|{BD}|=2\sqrt{4-{n^2}}$，所以$|{AC}|+|{BD}|=2\sqrt{4-{m^2}}+2\sqrt{4-{n^2}}$，
所以，（|AC|+|BD|）²=${（2\sqrt{4{-m}^{2}}+2\sqrt{4{-n}^{2}}）}^{2}$=20+8$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$=4（5+2$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$ ）．
因为m²+n²=3≥2mn，所以${m^2}{n^2}≤\frac{9}{4}$，当且仅当${m^2}={n^2}=\frac{3}{2}$取等号，
∴$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$≤$\frac{5}{2}$•（|AC|+|BD|）²=$\frac{5}{2}$•4（5+$\sqrt{4{+m}^{2}{•n}^{2}}$）≤$\frac{5}{2}$•4•（5+$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$）=75，
即（|AC|+|BD|）²=≤30，∴|AC|+|BD|≤$\sqrt{30}$，
即|AC|+|BD|的最大值为 $\sqrt{30}$．

点评 本题主要考查用待定系数法求三角形的外接圆方程，弦长公式、基本不等式的应用，属于中档题．