Question

8．已知命题p：幂函数y=x^1-a在（0，+∞）上是减函数；命题q：?x∈R，ax²-ax+1＞0恒成立．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p真，利用幂函数的单调性可得：1-a＜0?a＞1；若命题q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$或a=0．由于p∧q假，p∨q真，可得命题p与q一真一假．即可得出．

解答 解　若命题p真，1-a＜0?a＞1，那么p假时，a≤1；
若命题q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$或a=0?0≤a＜4，
那么q假时，a＜0或a≥4．
∵p∧q假，p∨q真，∴命题p与q一真一假．
当命题p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$?a≥4．
当命题p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$?0≤a≤1．
∴所求a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、幂函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．