Question

5．已知集合$A=\{x|\frac{x+2}{4-x}＞0\}，B=\{x|{x^2}-3ax+2{a^2}＜0\}$．
（1）若B⊆A，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出A中不等式的解集确定出A，分类讨论a的范围表示出B，
（1）根据B为A的子集，确定出a的范围即可；
（2）根据两集合的交集为空集，分B为空集与B不为空集两种情况求出a的范围即可．

解答 解：由A中不等式变形得：（x+2）（x-4）＜0，
解得：-2＜x＜4，即A=（-2，4），
由B中不等式变形得：（x-a）（x-2a）＜0，
当a＞2a，即a＜0时，解得：2a＜x＜a，此时B=（2a，a）；
当a＜2a，即a＞0时，解得：a＜x＜2a，此时B=（a，2a），
当a=2a，即a=0时，B=∅，
（1）∵B⊆A，B=（2a，a），A=（-2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥-2}\\{a≤4}\end{array}\right.$，且a＜0，即-1≤a＜0；
∵B⊆A，B=（a，2a），A=（-2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-2}\\{2a≤4}\end{array}\right.$，且a＞0，即0＜a≤2，
当B=∅，即a=0时，满足题意，
综上，a的范围为-1≤a≤2；
（2）A∩B=∅，
当B=∅时，a=2a，即a=0；
当B≠∅时，B=（2a，a），A=（-2，4），
可得a≤-2或a≥4（舍去）；
B=（a，2a），A=（-2，4），可得2a≤-2或a≥4，
解得：a≤-1（舍去）或a≥4，
综上，a的范围为：a≥4或a≤-2或a=0．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．