Question

已知直线l的方程为x-2y-2=0，数列{a_n}满足a₁=2，其前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n）在直线l上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在a_n和a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，令Tn=

1

d1

+

1

d2

+…+

1

dn

，试证明Tn＜

15

16

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得{a_n}为首项是2，公比是3的等比数列，从而可求其通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2•3ⁿ=2•3^n-1+（n+1）d_n，可求得

1

dn

=

n+1

4

•(

1

3

)n-1，从而可得T_n=

2

4

•(

1

3

)0+

3

4

•(

1

3

)1+…+

n+1

4

•(

1

3

)n-1，利用错位相减法即可求得T_n，从而可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵点（a_n+1，S_n）在直线l：x-2y-2=0上，
∴a_n+1-2S_n-2=0，
∴当n≥2时，a_n-2S_n-1-2=0，
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n，
又a₂-2S₁-2=0，
∴a₂=2a₁+2=6=3a₁，
∴{a_n}为首项是2，公比是3的等比数列，
∴a_n=2•3^n-1．
（2）∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴2•3ⁿ=2•3^n-1+（n+1）d_n，
∴

1

dn

=

n+1

4

•(

1

3

)n-1，
∴T_n=

2

4

•(

1

3

)0+

3

4

•(

1

3

)1+…+

n+1

4

•(

1

3

)n-1，

1

3

T_n=

2

4

•(

1

3

)1+

3

4

•(

1

3

)2+…+

n+1

4

•(

1

3

)n，
两式相减得：

2

3

T_n=

2

4

•(

1

3

)0+

1

4

•(

1

3

)1+

1

4

•(

1

3

)2+…+

1

4

•(

1

3

)n-1-

n+1

4

•(

1

3

)n，
=

1

2

+

1

4

•

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

n+1

4

•(

1

3

)n
=

1

2

+

1

8

（1-(

1

3

)n-1）-

n+1

4

•(

1

3

)n，
∴T_n=

15

16

-（

9

16

+

n+1

4

）•(

1

3

)n＜

15

16

．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的确定及其通项公式的应用，突出考查错位相减法，考查运算与证明能力，属于难题．