Question

已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应的一个特征向量e₁=

1 1

，并有特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e₂=

1 -2

，则矩阵M=

 

．

Answer 1

分析：设矩阵M=

a b c d

，则有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因为

1 0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有

2-a-b -c1-d

1 -2

=

0 0

，由此能够求出矩阵M

解答：解：设矩阵 M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，
因为

1 1

是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，则有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，
又因为

1 0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有

2-a-b -c1-d

1 -2

=

0 0

②，
根据①②，则有

a=6 b=2 c=4 d=4

，
因此 M=

6 2 4 4

，（6分）
故答案为：

6 2 4 4

．

点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．