Question

若对任意的2≤x≤5，不等式

x

x2+3x+1

≤a恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：若对任意的2≤x≤5，不等式

x

x2+3x+1

≤a恒成立，只需a大于或等于

x

x2+3x+1

的最大值即可．将f（x）化为=

1

x+ 1 x +3

  结合基本不等式或函数的单调性求最大值．

解答：解：若对任意的2≤x≤5，不等式

x

x2+3x+1

≤a恒成立，只需a大于或等于

x

x2+3x+1

的最大值即可．
假设f（x）=

x

x2+3x+1

=

1

x+ 1 x +3

  （2≤x≤5 ），令t=x+

1

x

，t′=1-

1

x2

＞0，t在[2，5]上是增函数，当x=2时，t的最小值是2+

1

2

=

5

2

，从而f（x）的最大值是

1

5 2 +3

=

2

11

，
∴实数a的取值范围是 [

2

11

，+∞)．
故答案为：[

2

11

，+∞)．

点评：本题考查不等式恒成立的条件，分式函数的最值，考查转化、计算能力．本题的易错点在于误认为t=x+

1

x

≥2，忽视验证等号能否取到．